Enero 2017
Enero 2017
LOS MODELOS DE PRONOSTICO Y SU PROBLEMÁTICA
Walter Ritter Ortíz
Sección de Bioclimatología, Centro de Ciencias de la Atmósfera, UNAM. Circuito Exterior de Ciudad Universitaria, Del. Coyoacán, México, D. F., C. P. 04510. walter@atmosfera.unam.mx
INTRODUCCIÓN
Desde los años cincuenta se ha postulado que es fundamentalmente imposible estudiar los sistemas complejos de la naturaleza dividiéndolos en sus componentes para luego analizar cada parte en forma independiente. Un sistema complejo, a diferencia de uno simple, es visto como una entidad cuyo comportamiento global es más que la suma de las operaciones de sus partes.
Usualmente se le define como una red de muchos componentes, cuyo comportamiento de agregados da lugar a estructuras en varias escalas y patrones de manifestación cuya dinámica no es inferible de una descripción simplificada del sistema y que considere además, situaciones acotadas de resolución. El campo es entonces altamente multidisciplinario, juntando expertos en varias ramas o especialistas que van desde economía, ecología, ciencias sociales, biología, física y meteorología, entre otros.
Las bases teóricas de los sistemas complejos han sido enfocadas principalmente en su organización; como el conjunto de relaciones que determinan las clases de interacciones y transformaciones dentro de un sistema y en los arreglos que contribuyen al desarrollo y persistencia de ciertas características dentro de la organización.
Son las relaciones entre los componentes, más que los componentes y sus propiedades las que son más significativas, donde al dar un mayor énfasis a la estructura en lugar de su composición, es lo que hace que muchos de los diferentes tipos de sistemas puedan ser caracterizados con herramientas analíticas similares.
En este contexto, el análisis de la lluvia-escorrentía y de la productividad de los ecosistemas, nos permite tratarlos como una red de componentes conectados e interactuando de manera que sólo pueden ser descritas por relaciones altamente no-lineales.
De esta manera, el estudio de ecosistemas se coloca dentro de un contexto mucho más amplio, en el que los ecosistemas y la lluvia, pueden ser sujetos a los mismos métodos de caracterización, modelado y descripción, a como es lo usual en otros sistemas complejos y, se puede así elucidar similaridades y diferencias entre estos sistemas y otros tipos de sistemas complejos.
Hasta la fecha, ha sido posible identificar características que parecen ser comunes a todos los sistemas complejos incluyendo organizaciones espaciales y temporales, emergencias, adaptaciones, niveles críticos de conectividad, autopoiesis, etc. (Ritter et al., 1998, 2002c).
Así por ejemplo, el comportamiento aleatorio y errático de organismos individuales en conjunción con influencias ambientales aleatorias, pueden producir persistencia, estructuras autoorganizadas y dinámicas a escalas poblacionales. Esto a su vez, afecta el comportamiento de los individuos en las poblaciones dando lugar a procesos emergentes de retroalimentación y otras estructuras y funciones autoregenerativas.
La adopción de la idea de que puede haber niveles críticos de conectividad en ecosistemas, está también cambiando la forma en que las cadenas alimenticias y los patrones del paisaje son analizados.
Un impacto significativo de esto es, el reconocimiento de que la inclusión de elementos espaciales en un modelo de ecosistemas puede tener un efecto radical sobre la dinámica pronosticada y a menudo, moviendo un sistema de un estado de equilibrio a otro de caos, en algún otro régimen complejo, considerados anteriormente como inválidos o inestables, pero que ahora se cree que son lo más cercano a lo que ocurre en la realidad (Ritter et al., 1997a, 1997b, 2002a).
Se puede considerar también lo inadecuado de algunas de las teorías ecológicas actuales, con respecto a soluciones rápidas de los problemas ambientales y analizar y criticar la posibilidad del uso de analogías derivadas de la física y de otras ciencias, para la solución de los problemas ecológicos.
Los supuestos e hipótesis, deberán ser probados con los resultados de los modelos que se formulen, contra el comportamiento cuantitativo y cualitativo de un mundo real. Incluir estudios cooperativos en pastizales, zonas desérticas y semidesérticas, bosque templados y tropicales, entre otros, significa un espacio donde debe esperarse a acceder a antecedentes así como a generalidades en observaciones y conclusiones ya existentes, de posibles estudios previos.
El abordaje de la meteorología, como en otras ciencias, requiere de construir modelos basados sobre consideraciones teóricas, utilizando datos medidos como entrada de la información inicial.
Por lo tanto, la construcción de modelos a partir de principios teóricos y leyes fundamentales, ha sido y continúa siendo el área de mayor importancia para los investigadores.
Hoy en día, la modelación para el pronóstico del tiempo atmosférico (así como la predicción del clima), es un proceso de solución a sistemas de ecuaciones diferenciales, describiendo un problema de dinámica de fluidos.
Mientras tanto, los problemas aumentan cuando se incorporan los datos medidos y, son usados como datos de entrada en los modelos. Esto se debe a que las mediciones rutinarias en amplias localizaciones, proveen de un solo estado inicial discreto y, las especificaciones correctas, demandan condiciones iniciales en un volumen tridimensional (Elsner y Sonics, 1992).
El problema de pronosticar el estado del tiempo, se debe a que no es un sistema periódico y, los valores iniciales continuos, sólo representan el estado presente de la atmósfera. Al recurrir a la modelación de sistemas dinámicos, implica sacrificar la precisión en aras de la simplicidad y la economía estructural (Smith, 1998).
Se puede considerar que los métodos lineales presentan limitación en el área predictiva, relacionada a su inhabilidad para modelar dinámicas de retroalimentación en el tiempo atmosférico y sistemas climáticos (Farmer y Sidorowich, 1987).
Una alternativa es la construcción de modelos directamente desde los datos disponibles. Para estos métodos, los datos son usados como series de tiempo, considerados como realizaciones únicas de procesos determinísticos y aleatorios continuos ( Pandit y Yu, 1983).
Tomando tales consideraciones, se utiliza la dinámica de sistemas, la cual puede ser descrita en términos geométricos y las variables dependientes, como coordenadas en un espacio multidimensional en el espacio (Lorenz, 1984).
En consecuencia, la teoría del caos se transforma en una herramienta con gran potencial para obtener información acerca de las estructuras formadas directamente desde los datos medidos, en lugar de a partir de los modelos.
Recientes trabajos han dado la posibilidad de usar ciertas ideas de la teoría de sistemas dinámicos no lineales, para el estudio del tiempo atmosférico y clima (Nicollis y Nicollis, 1984; Fraedrich, 1986; Sharifi et al., 1990; Elsner y Tsonics, 1992; Hastings, 1993; Porporato y Ridolfi, 1997), sugiriendo que el conocimiento de la dinámica de sistemas, junto a las estructura de los atractores (dimensiones y exponentes de Lyapunov), pueden presentar potencialidades en las predicciones de corto plazo.
Por lo tanto, de conceptos y herramientas y a partir del estudio del caos, podrán obtenerse nuevas aproximaciones a la comprensión sobre el estado del tiempo y el clima, de lo cual podría conducir a un pronóstico mejorado en el futuro.
No obstante, la variabilidad climática es la manifestación de una dinámica caótica descrita por un atractor de dimensión fractal, que puede ser analizada por las metodologías modernas de la dinámica de sistemas.
La teoría del caos, aplicada al estudio de la dinámica de la atmósfera, se ha convertido en una técnica controversial, al proponer una nueva forma de pronóstico a partir de atractores, los cuales son conceptos matemáticos simples aplicados a sistemas físicos y que, siguen algún tipo de patrón reconocible, aún siendo sistemas muy complicados y aleatorios.
Para comprender el comportamiento de la atmósfera, incluyendo sus variaciones, es necesario analizarla e interpretarla en su carácter histórico de coevolución, ya que interactúa como un sistema homeostático que presenta procesos cíclicos.
En donde, sus manifestaciones coevolutivas catastróficas han tenido una influencia determinante en el clima y la evolución de los seres vivientes (Ritter et al., 2005).
En la antigüedad, como hoy en día, el clima ha sido un factor determinante en el desarrollo del hombre ya que éste depende fuertemente de la productividad en sus actividades a desarrollar (agricultura, ganadería, pesca, etc.). En consecuencia, las pérdidas económicas pueden ser cuantiosas y atribuidas a la falta de conocimiento de la variabilidad del clima.
No obstante, la producción también es influenciada por otros factores como son los biológicos, económicos, sociales y hasta políticos.
Por lo tanto, la precipitación se ha convertido en una variable atmosférica muy importante en el desarrollo de la agricultura en México, la cual debe de ser analizada desde su base y a partir de las condiciones regionales (Ritter et al., 1998); y sobre la consideración de que su comportamiento es muy variable, que lo hace muy difícil de conocer y predecir.
1.- SISTEMAS DINÁMICOS NO-LINEALES
Los sistemas dinámicos son aquellos que cambian con el tiempo, los cuales pueden ser explicados por medio de ecuaciones dinámicas y estructuras matemáticas; o bien, pueden ser representados como trayectorias de espacios de fases, caracterizados por su capacidad de percibir la evolución del sistema en el tiempo.
La teoría del caos, forma parte del estudio general de los modelos dinámicos, interesada fundamentalmente en el comportamiento de sistemas no lineales o, de los sistemas disipativos, los cuales exhiben atractores y sensibilidad a las condiciones iniciales (Smith, 1998).
Donde, los atractores son oscilaciones dinámicas, que eventualmente se encuentran en equilibrio (Vandermeer, 1981).
Los sistemas caóticos, matemáticamente se definen como una aleatoriedad generada por la simple dinámica de los sistemas determinísticos, que permiten ver el orden en los procesos que parecen ser totalmente aleatorios (Tsonics y Elsner, 1989).
La no-linearidad, es una característica de la evolución de los fenómenos naturales, como es la precipitación, donde largos periodos de estabilidad son intercalados con oscilaciones aparentemente aleatorias en épocas de inestabilidad.
Las bifurcaciones catastróficas resultan en súbitas apariciones y desapariciones de atractores estáticos, ya sean periódicos o caóticos y, son la clase de transformaciones que mantienen los sistemas en evolución y que incluyen, desde especies a sistemas ecológicos y climáticos (Ritter et al., 2000).
Los métodos lineales de pronóstico en las series de tiempo, presentan por otra parte, limitaciones. Cuando la linealidad es muy marcada, los efectos de retrazo entre sus elementos tienden a ser muy pequeños, presentándose puntos de equilibrio estable, donde se exhiben procesos de bifurcaciones, así como puntos estables, donde los valores oscilan en ciclos y periodicidades fácilmente identificables (May, 1976).
Mientras tanto, cuando las razones de crecimiento del sistema rebasan cierto límite, los ciclos estables entran en situaciones de comportamiento caótico, los cuales son prácticamente imposibles de predecir.
En este caso, la dinámica observada del sistema es pronósticable por medio del modelo logístico determinístico, quién presenta las descripciones más exacta del proceso, incluso sobre bases probabilísticas, o estocásticas.
Los sistemas dinámicos pueden ser utilizados para seguir trayectorias de corto plazo, donde además se puede extraer información de largo plazo sobre el comportamiento general de las trayectorias, según sus giros en torno a los atractores.
Por lo tanto, los modelos caóticos (que tienen regímenes caóticos, para al menos algunos valores de los parámetros) pueden presentar situaciones deseables en los sistemas predictivos (Smith, 1998).
Sabemos que para un sistema con muchos grados de libertad, la estadística es lo más deseable. Sin embargo, un comportamiento irregular puede ser resultado de un caos de baja dimensión, es decir, de procesos de modelos no lineales.
El resultado más importante de la teoría de los sistemas dinámicos es, el descubrimiento de que el comportamiento complejo e impredecible no necesariamente se debe a la presencia de un gran número de grados de libertad, sugiriendo que los atractores extraños pueden caracterizarse por medio de series finitas de tiempo, como es factible observar en un sistema dinámico.
Estas nuevas metodologías de pronóstico estadístico no-lineal, utilizan series de tiempo y construyen los modelos directamente de los datos disponibles, donde las series de tiempo son consideradas como realizaciones únicas de procesos aleatorios continuos (Nicollis y Nicollis, 1984).
Donde, la aleatoriedad es un resultado de interacciones complejas, participando muchas variables o muchos grados de libertad.
Las trayectorias de los espacios de fases, son resultados de una variable en el tiempo N(t) y un retraso de la misma N(t+1); lo cual describe una dinámica determinística del sistema para un sistema con un grado de libertad.
Los sistemas dinámicos, como la precipitación, son caracterizados por la atracción de sus trayectorias hacia un objeto geométrico llamado atractor, el cual ocupa una reducida porción del espacio de fases (Rodríguez-Iturbe et al., 1989). Y, al mismo tiempo, está formado por trayectorias que eventualmente convergen y permanecen sobre el espacio total disponible.
En tanto, cuando un atractor muestra una dimensión fraccional, es llamado “atractor extraño”; el cual es altamente sensible a las condiciones iniciales y además, tiene la propiedad de que el sistema decae o es atraído a un estado final, pero es extremadamente complejo y no es periódico, que de hecho es caótico y pseudoaleatorio, de tal forma que es la solución de un conjunto de ecuaciones determinísticas, mostrando que el sistema es no lineal y determinístico (Suárez, 2004).
Debido a su gran sensibilidad a las condiciones iniciales, puede llevarnos a patrones completamente diferentes al sistema con tan solo pequeñas perturbaciones, derivándose así grandes efectos, conocidos como efectos mariposa (Lorenz, 1963).
Los atractores extraños también son llamados sistemas caóticos, donde sus trayectorias nunca se repiten y su evolución es aperiódica pero completamente determinística; sus señales son irregulares y exhiben energía en todas las frecuencias dentro del espectro de banda ancha (Elsner y Tsonics, 1992).
Una vez que el atractor extraño ha sido identificado, puede ser cuantificado al calcular varias medidas como la de su dimensión y su exponente de Lyapunov (Ritter, et al., 1998).
Los atractores son capaces de formar múltiples invariantes de los sistemas dinámicos, dependiendo de los períodos que sean analizados, los cuales frecuentemente tienen baja dimensionalidad (entre 4 y 5) sobre todo para atractores climáticos (Fraedrich, 1986).
Mientras que, la estabilidad de un sistema puede ser determinada por las oscilaciones en las trayectorias en los espacios de fases, las cuales pueden ser oscilaciones estables e inestables.
Las oscilaciones estables presentan un decrecimiento en su amplitud hasta localizarse en un punto de equilibrio; y en las oscilaciones inestables se presenta un ligero movimiento del punto de equilibrio, que lleva a oscilaciones que se alejan cada vez más del punto de equilibrio; es decir, producen trayectorias que nunca regresan a un ciclo permanente (Vandermeer, 1981).
La predictabilidad de los sistemas está relacionada al problema de su estabilidad.
De tal manera que, un sistema dinámico puede ser amplificado por influencias estocásticas iniciadas desde el medio externo, sin generar ruido o caos (Deissler y Doyne, 1992).
La estabilidad tanto local como global, pueden causar ruido ambiental y ser amplificadas a proporciones macroscópicas.
Las inestabilidades locales causan fluctuaciones temporalmente amplificadas en el espacio de fases (May, 1976; May y Oster, 1976).
El caos determinístico se refiere a ecuaciones diferenciales sin aleatoriedad.
Algunas simplificaciones, tienden a omitir factores estocásticos afectando el sistema.
Ambos, el sistema por sí mismo y las perturbaciones externas, contribuyen a la impredictabilidad del sistema (Sugihara y May, 1990).
En la actualidad, es sabido que tanto los procesos estocásticos, como los determinísticos, son difíciles de identificar en la información histórica de la precipitación.
Sin embargo, la precipitación presenta por lo general una gran dispersión de valores, de tal forma que exhibe movimientos parecidos a sistemas estocásticos, aún siendo un sistema determinístico.
Los procesos estocásticos son los que proporcionan la incertidumbre de los valores en el sistema, por medio de eventos de probabilidad (Schifter, 1996).
Existen problemas en la ciencia donde es necesario identificar y separar el caos determinístico del estocástico.
Sin embargo, el caos determinístico es derivable desde su misma fuente de valores, por la dinámica de sistemas descrita por ecuaciones diferenciales no lineales.
En comportamientos caóticos, las ecuaciones dinámicas determinísticas no lineales son posibles de ser generadas de las propiedades internas intrínsecas del sistema, que se diferencian ellos mismos como efectos controlados y no controlados o fluctuaciones estocásticas.
2.- INDICES DE PREDICTABILIDAD
La teoría de sistemas dinámicos por medio de los sistemas caóticos, los sistemas disipativos, conjuntos de fractales, atractores extraños, etc., representan alternativas para el pronóstico.
Los espacios de fases forman trayectorias que esporádicamente convergen, creando oscilaciones en forma de espiral en torno a un atractor. Sobre estas condiciones, se pueden calcular algunos parámetros indispensables para realizar el pronóstico, como son el exponente de Lyapunov, la dimensión de capacidad y los eigenvalores.
El exponente de Lyapunov, proporciona una medida de la tasa promedio de divergencia de las trayectorias en el espacio de fases de un atractor (es la velocidad con que se separan o comprimen las trayectorias).
Demostrando que, el límite de predictabilidad del comportamiento del sistema a largo plazo, es dado por el inverso del exponente de Lyapunov (Nicolis, 1987; Rodríguez-Iturbe et al., 1989).
No obstante, también señala la medida de sensibilidad a cambios de las condiciones iniciales del sistema, lo que conceptualmente es apropiado para señalar a los sistemas determinísticos (Rodríguez-Iturbe et al., 1989).
Si el exponente de Lyapunov es negativo, las trayectorias poco separadas en el inicio tenderán a converger y la evolución no será caótica.
Por el contrario, si el exponente es positivo, las trayectorias divergen y la evolución es sensible a las condiciones iniciales y por lo tanto es caótica (Schifter, 1996).
Entonces, cualquier sistema, que contenga al menos un exponente de Lyapunov positivo, se define como caótico.
En tanto, ordenando los exponentes de mayor a menor se pueden conocer las características del atractor (Poveda, 1997):Si al menos un exponente es menor que cero, el atractor es un punto.La presencia de exponentes de Lyapunov positivos, implican la divergencia de trayectorias cercanas y por lo tanto, presencia de una dinámica caótica.
Si el exponente es igual a cero, el atractor es un ciclo limite estable.
Si los dos primeros exponentes son igual a cero y los demás negativos, el atractor es un toroide bidimensional.
Si al menos un exponente es positivo, el atractor es extraño, indicando una divergencia exponencial de las trayectorias en el atractor, lo cual genera una extrema sensibilidad a las condiciones iniciales.
Aunque, del mismo modo, se involucran en la amplificación del ruido y la producción espontánea de nueva información macroscópica a través de la amplificación de pequeñas fluctuaciones externas (Deissler y Doyne, 1992).
En el cual, tal comportamiento puede ser confundido con caos determinístico (Hastings et al., 1993).
La dimensión, es una medida de la complejidad de la trayectoria del espacio de fases, donde para obtener una medida exacta de la dimensión de un atractor es teóricamente necesario envolverlo en un espacio de dimensión de al menos 2d+1, donde d es la dimensión integral que contiene el atractor.
Hay varias formas de definir la dimensión de un atractor y, la más simple es la “dimensión de capacidad”, la cual describe la geometría de la dimensión del atractor, sin considerar que tan frecuente la trayectoria visita la región del atractor (Ritter et al., 1998).
La dimensión del atractor, refleja la dinámica del sistema.
Cuando d=1 las oscilaciones son autoexcitadas y periódicas; si d=2 son oscilaciones cuasiperiódicas; mientras que, si d>2 entonces el sistema presenta oscilaciones de comportamiento caótico, con imposibilidad de calcular (id.).
La dimensión de un número fraccional indica que, el atractor es un fractal, el cual nos provee de un número mínimo de grados de libertad que se necesitan para reproducir la dinámica del sistema en escalas de tiempo muy cortas (Tsonics y Elsner, 1989).
Por lo tanto, la determinación de la dimensión, fractal o no, indica el número de variables y ecuaciones que debería de satisfacer un modelo para predecir la evolución de un sistema.
El hecho de que las dimensiones sean variables para diferentes tiempos de escala, puede indicar que los atractores analizados y su predictabilidad son diferentes en función de la escala de tiempo, y solo muestra una parte de un atractor mayor (Tsonics y Elsner, 1988).
De tal modo, se puede considerar que el atractor no es de baja dimensión, sino que la atmósfera es un sistema complementado de subsistemas de baja dimensión (Lorenz, 1991).
Varios investigadores señalan que la baja dimensionalidad implica más estructura y por lo tanto, mayor predictabilidad del sistema.
Aunque para otros, son dudosos dichos análisis, debido a que los datos son pobres y ruidosos; atribuyendo la existencia de atractores extraños, más a las ecuaciones matemáticas que al comportamiento meteorológico (Pool, 1989).
En diversos trabajos se estiman dimensiones fractales del tiempo atmosférico, en los que su magnitud se encuentra entre 3 y 4, en el caso de que la variabilidad interanual y los cambios estacionales sean eliminados (Elsner y Tsonics, 1987; Essex et al., 1987); mientras que la variabilidad del clima, revela dimensiones entre 4 y 5, en el atractor climático (Nicolis y Nicolis, 1984; Fraedrich, 1986).
Mientras tanto, los eigenvalores son la proyección de las raíces medias cuadráticas de las coordenadas n-dimensionales de retrazo a los eigenvectores ortogonales, y representan un método natural de resolver la nube de valores puntuales en un espacio dimensional superior (Wilks, 1995); es decir, es otra forma de describir la variabilidad o comportamiento del sistema.
Los comportamientos dinámicos se pueden determinar a partir de las trayectorias de los espacios de fases, y al mismo tiempo, por su dimensión.
Por lo tanto, los sistemas dinámicos caóticos además de que no son predictivamente inútiles, se emplean para seguir trayectorias a corto plazo y de esta forma, se puede deducir información a largo plazo sobre el comportamiento general de las trayectorias, según éstas giren entorno a los atractores (Smith, 1998).
De lo cual, se pueden obtener diferentes conductas dinámicas, establecidos por el equilibrio del sistema como:
Ciclo límite: Si la trayectoria se coloca dentro de varios puntos, indicando movimiento periódico y predictabilidad.
Cuasi-periódico: Resulta cuando el período de las oscilaciones es irregular, así que la solución nunca se repite exactamente y las trayectorias forman una elipse o toro.
Caótico: Indica la formación de un atractor extraño y, por lo tanto, revela dinámica caótica, mostrando una elipse alargada e inclinada.
Las razones de que un sistema se convierta en irregular, aperiódico o ruidoso es por su caos determinístico, lo cual genera ruido directamente desde su dinámica interna, sin necesidad de perturbaciones externas y, la otra opción, es el comportamiento estocástico (Deissler y Doyne, 1992).
3.- OBJETIVOS
Los modelos de predicción numérica aplicados a la precipitación, representan una posible alternativa dirigida al comportamiento de esta variable para un futuro; donde existe la incertidumbre de que sus métodos sean total y realmente efectivos; ya que aún no es posible incluir todos los factores físicos relacionados al comportamiento espacio-temporal de la precipitación.
Por lo mismo, se propone un análisis de sistemas complejos dinámicos no-lineales, tratando de encontrar los elementos que intervienen en dicho comportamiento.
Así, como conseguir un patrón o estructura derivada de la ecuación logística capaz de simular el comportamiento de la precipitación observada, para finalmente aplicarlo en un pronóstico a corto plazo.
4.- HIPÓTESIS
En ecología, la estabilidad o inestabilidad de un ecosistema, es determinada por el balance entre el potencial de recuperación biológica y la magnitud del efecto destabilizante de las fluctuaciones del ambiente.
Por lo tanto, se propone que el comportamiento de la precipitación depende fuertemente de la magnitud de las perturbaciones internas y externas del medio entre las cuales la orografía y otros elementos climáticos así cómo la deforestación o el cambio de uso de suelo y otros muchos más, son factores indirectos que producen variabilidad.
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