Enero 2012

¿QUÉ SON LOS SISTEMAS DINÁMICOS NO-LINEALES?

Walter Ritter Ortíz y Tahimi E. Perez Espino

Centro de Ciencias de la Atmósfera. UNAM,

Circuito Exterior. CU. 04510 México DF. México

 

INTRODUCCIÓN

Los climatólogos y meteorólogos, trabajan con sistemas grandes y complejos que involucran más variables de las que se pueden manejar analíticamente.

Los fenómenos de las ciencias climáticas son tan complejos que no existe una seguridad de que en un próximo futuro, se pueda forjar una teoría y modelación completa y autoconsistente para su solución. Sabemos además que los problemas no se resuelven simplemente demostrando que son imposibles de resolver.

Existen dos formas conocidas en los sistemas dinámicos de estudiar el caos en los sistemas climáticos y en el manejo de los recursos naturales: Los métodos estadísticos de series de tiempo y los métodos basados en la reconstrucción de atractores usando el teorema de Takens. Otro método reciente se basa en la bifurcación y la ruta del caos, pronosticada por modelos matemáticos donde si la dinámica caótica existe, podremos reproducir la ruta al caos y donde la mezcla de no linealidad y estocásticidad producen un nivel de complejidad que no puede ser vista y observada por el estudio de los atractores determinísticos solamente.

A través de un mosaico de modelos relacionados y consecuentes entre sí, donde ninguno de los cuales es más fundamental que el otro, se propone forjar una teoría y una modelación completa y autoconsistente, donde el exponente de Lyapunov representa una medida de la caosidad de estos sistemas y una medida de su cantidad de información contenida en ellos. Leyes sencillas, procesos no-lineales, sensibilidad a las condiciones iniciales y a la retroalimentación, son los factores que al parecer hacen funcionar el mundo.

ANTECEDENTES CARTECIANOS LINEALES DE CAUSA EFECTO

El éxito de las leyes de Newton fue el fundamento sobre el cual se construyó toda la ciencia moderna. Donde tanto la electricidad como el magnetismo y la gravedad, obedecen leyes de la inversa al cuadrado.

Las propiedades básicas del mundo se ven determinadas por la manera en que lo observamos y por los métodos de observación utilizados. La física moderna ha puesto de manifiesto las limitaciones de la visión mecanicista del mundo, señalando que el universo debe verse como una red de relaciones vinculadas entre sí, donde la naturaleza se concibe a través de su autoconsistencia, sin estructuras estáticas y su estabilidad es el resultado de un equilibrio dinámico, de donde podemos decir que las leyes físicas primarias jamás serán descubiertas por una ciencia que intenta fragmentar el mundo en sus constituyentes.

Con todo esto, cada vez se tiene menos adeptos a la creencia de que se puede entender el todo y cada una de las partes en función de relaciones de causa-efecto, transparentes y lineales, ganando fuerza la necesidad de estudiar los aspectos inestables no completamente predecibles, desordenados, caóticos, de los fenómenos complejos del ambiente, generando la búsqueda de estructuras de pensamiento diferente, que en algún sentido rompan con el modelo copernicano.

El complicado comportamiento del mundo no es más que una complejidad superficial que surge de una profunda sencillez.

Estos nuevos avances nos muestran cómo los conocimientos científicos basados en leyes sencillas pueden explicar el comportamiento aparentemente inexplicable de los sistemas meteorológicos, mercados bursátiles, terremotos, e incluso comportamiento humano y el propio origen de la vida. No es de extrañar que sea a escala humana donde se den las características más complejas del universo. La idea principal es que el caos y la complejidad obedecen leyes sencillas, con sensibilidad a las condiciones iniciales y la retroalimentación. Cuando un sistema alcanza el equilibrio, ha olvidado sus condiciones iniciales.

El estado en que se estabilizan los sistemas se denomina un atractor y será atraído hacia un estado en el cual es mínima la velocidad a la que se produce la entropía. El modo más sencillo de entender lo que mide la entropía es pensar en términos de la cantidad de orden que hay en un sistema.

Con miles y miles de millones de moléculas que participan en interacciones mutuas unas con otras, el caos en cierto modo desaparece o se aminora y aparece un orden que está asociado con leyes sencillas.

Tanto en termodinámica estadística como en el de la mecánica cuántica, no estamos en condiciones de atribuir a los sistemas físicos estados totalmente determinados. Las grandes dificultades en el conocimiento de un pasado desdibujado vaticinan mayores dificultades en el pronóstico de un futuro aún por construir.

La predicción del futuro por extrapolación del curso de los acontecimientos temporales del pasado resulta a la luz del análisis realizado, una idea ingenua, sin embargo, la comprensión de los mecanismos básicos que habrían sido relevantes en el proceso de la evolución de los acontecimientos nos proporcionan importantes herramientas para conjeturar sobre el curso que podrían tomar los acontecimientos futuros. Nunca se puede hacer que las cosas vuelvan a ser como eran.

Las teorías físicas se han considerado como instrumentos que permiten predecir a partir de ciertos hechos observados, los resultados de futuras observaciones. La física se ve limitada cuando hay que dar cuenta en la estadística de las series de tiempo de los resultados obtenidos por nuestros arreglos experimentales, y por consiguiente es excesivamente ambicioso creer que el conocimiento científico de ella nos permitirá acceder a una realidad independiente de cualquier observación.

ATRACTORES, ESPACIO DE FASES Y EVOLUCIÓN GLOBAL DE TRAYECTORIAS

Estas teorías son necesarias, para describir, y desarrollar metodologías y modelos para la incorporación simultanea de factores determinísticos y estocásticos en los modelos climáticos y ecológicos. Detectando que la naturaleza presenta contenidos muy ricos y sustanciales a pesar del desorden y del caos que se perciben, tratando de comprender y sistematizar esa riqueza cubierta por el desorden de fenómenos en evolución, qué es lo entendible y de cómo se puede controlar.

Un atractor es un conjunto de puntos, constituido por trayectorias del sistema, alrededor del cual se acumulan todas o casi todas las trayectorias que parten de puntos cercanos a él. La descripción de los atractores constituye uno de los temas clave de la teoría de sistemas dinámicos, dado que la mayoría de las trayectorias tienden a ellos y, sus propiedades resumen el comportamiento a largo plazo del sistema.

Todo proceso en que hay movimiento y variación, puede ser considerado como un sistema dinámico. Es decir que todo fenómeno que evoluciona en el tiempo es un sistema dinámico. En general, un sistema dinámico está dado por una transformación en un espacio de sucesos, llamado espacio de fases.

El principal objetivo de estudio de los sistemas dinámicos es describir el comportamiento de las orbitas o trayectorias luego de transcurrido mucho tiempo y de lo que se trata es de poder dar las propiedades de la mayoría de esas trayectorias. Conocidas esas propiedades estaremos en condiciones de decir algo sobre el comportamiento asintótico de todo el sistema o de su evolución global para tiempos prolongados. Es decir que nos interesa su evolución, considerada como un todo, no sólo estudiar algunas trayectorias o conocer la evolución de alguna de sus partes, sino opinar sobre su comportamiento global.

La existencia de restricciones sobre nuestra capacidad de operar los sistemas físicos se ve reforzada por los recientes descubrimientos del comportamiento caótico de muchos sistemas fuera del equilibrio, para los cuales valores ligeramente diferentes de las variables iniciales conducen a comportamientos totalmente distintos poco tiempo después. Su comportamiento dinámico en un instante dado no permite determinar su evolución futura.

MODELACIÓN, DIAGNOSTICO, SIMULACIÓN Y PRONÓSTICO CON ENFOQUE SISTEMICO

En la modelación, diagnóstico, simulación y pronóstico, de nuestros estudios apoyados en las metodologías de simulación de los sistemas pensantes (enfoque sistémico), escogemos las variables y las reglas adecuadas y necesarias, que gobiernan la dinámica en el sistema de estudio, con lo que podemos predecir los cambios de dichos sistemas a través del tiempo.

En primer lugar hay que identificar el problema con claridad, y describir los objetivos del estudio con precisión, teniendo en mente que vamos a estudiar la realidad como un sistema. El resultado de esta fase ha de ser una primera percepción de los elementos que tienen relación con el problema planteado, por lo que debemos conocer los elementos que forman el sistema y las relaciones que existan entre ellos, incluyendo sólo aquellos elementos que tienen una influencia razonable sobre nuestro objetivo, que es la de proponer acciones practicas para solucionar el problema, basados en las cuatro etapas fundamentales del proceso de desarrollo y uso del modelo, las cuales, son las siguientes:

• Desarrollo del modelo conceptual;
• Desarrollo del modelo cuantitativo;
• Evaluación del modelo y
• Uso del modelo.

LA PROBLEMÁTICA DE LOS MODELOS DE PRONÓSTICO

Una de las necesidades básicas de la ciencia es hacer predicciones. Donde si se conoce el comportamiento inicial o anterior, podemos predecir el futuro; ¿cómo se puede predecir el futuro con los antecedentes conocidos?

El abordaje de la meteorología, como en otras ciencias, requiere de construir modelos basados sobre consideraciones teóricas y utilizar datos medidos como entrada de información inicial. Por lo tanto, la construcción de modelos a partir de principios teóricos y leyes fundamentales, ha sido y continúa siendo el área de mayor importancia para los investigadores. Hoy en día la modelación para el pronóstico del tiempo atmosférico (así como la predicción del clima), es un proceso de solución a sistemas de ecuaciones diferenciales, describiendo un problema de dinámica de fluidos.

Mientras tanto, los problemas aumentan cuando se incorporan los datos medidos y son usados como datos de entrada en los modelos. Esto se debe a que las mediciones rutinarias en amplias localizaciones proveen de un solo estado inicial discreto, y las especificaciones correctas, demandan condiciones iniciales en un volumen tridimensional (Elsner y Sonics, 1992). El problema de pronosticar el estado del tiempo, se debe a que no es un sistema periódico, que se repita regularmente y los valores iniciales continuos solo representan el estado momentáneo de la atmósfera. Al Recurrir a la modelación implica, sacrificar la precisión en aras de la simplicidad y la economía estructural (Smith, 1998).

En los sistemas deterministas, el estado inicial determina el estado final; pero la inestabilidad exponencial hace que de un conocimiento aproximado del estado inicial no se pueda deducir un conocimiento aproximado del estado final. Si la entropía no es nula, la precisión de las predicciones se degrada a medida que pasa el tiempo, de manera que son necesarias observaciones periódicas para seguir la evolución del sistema. La ausencia de observaciones nos deja en una incertidumbre completa.

Si bien sabemos que las mismas causas producen los mismos efectos, la sensibilidad a las condiciones iniciales hará que causas semejantes no tengan necesariamente efectos semejantes. Una causa muy pequeña que se nos escape, determina un efecto considerable que no podemos dejar de ver. Una décima de grado más o menos en la dirección de un punto del huracán y éste estalla aquí y no allá y extiende sus estragos en comarcas que de otra manera no habrían sido devastadas-- las observaciones no fueron ni bastante rigorosas ni bastante precisas y por eso todo parece debido al azar.

La única manera de estudiar el comportamiento de un sistema es resolviendo explícitamente las ecuaciones de evolución del sistema, lo cual sólo es posible en una clase muy reducida de sistemas conocidos como integrables. Para los sistemas próximos o casi integrables existen métodos que permiten resolver parcialmente las ecuaciones y deducir el comportamiento del sistema en intervalos de tiempo que pueden ser importantes, pero de los cuales no se puede garantizar que se extiendan al infinito.

Podemos decir que todo está determinado, pero no podemos conocerlo todo. Aunque el universo esté determinado, no podemos comprobarlo, en consecuencia, somos incapaces de prever lo que va a ocurrir. Aunque el universo esté totalmente determinado, para saber lo que va a ocurrir es necesaria una descripción completa del pasado que es imposible de obtener. Para Ilya Prigogine, el determinismo es una ilusión que conviene superar. No podemos pensar tampoco, que podemos encontrar algunas leyes generales merced a las cuales llegaríamos a predecir casi todos los fenómenos.

Se puede considerar que los métodos lineales presentan limitación en el área predictiva, relacionada a su inhabilidad para modelar dinámicas de retroalimentación en el tiempo atmosférico, y sistemas climáticos (Farmer y Sidorowich, 1987). Por lo tanto, una alternativa es la construcción de modelos directamente desde los datos disponibles. Para estos métodos, los datos son usados como series de tiempo, considerados como realizaciones únicas de procesos determinísticos y aleatorios continuos (Pandit y Yu, 1983).

Tomando tales consideraciones, se utiliza la dinámica de sistemas, la cual puede ser descrita en términos geométricos y las variables dependientes como coordenadas en un espacio multidimensional (Lorenz, 1984). En consecuencia, la teoría del caos se transforma en una herramienta con gran potencial para obtener información acerca de las estructuras formadas directamente desde los datos medidos, en lugar de partir de los modelos.

Recientes trabajos han dado la posibilidad de usar ciertas ideas de la teoría de sistemas dinámicos no lineales para el estudio del tiempo atmosférico y clima (Nicollis y Nicollis, 1984; Fraedrich, 1986; Sharifi et al., 1990; Elsner y Tsonics, 1992; Hastings, 1993; Porporato y Ridolfi, 1997), sugiriendo que el conocimiento de la dinámica de sistemas, junto a las estructura de los atractores (dimensiones y exponentes de Lyapunov) pueden presentar potencialidades en las predicciones de corto plazo. Por lo tanto, de conceptos y herramientas y desde el estudio del caos, pueden obtenerse nuevas aproximaciones a la comprensión sobre el estado del tiempo y el clima, de lo cual podría conducir a un pronóstico mejorado en el futuro.

No obstante, la variabilidad climática es la manifestación de una dinámica caótica descrita por un atractor de dimensión fractal, que puede ser analizada por las metodologías modernas de la dinámica de sistemas. La teoría del caos aplicada al estudio de la dinámica de la atmósfera, se ha convertido en una técnica controversial, al proponer una nueva forma de pronóstico a partir de atractores, los cuales son conceptos matemáticos simples aplicados a sistemas físicos y que siguen algún tipo de patrón reconocible, aún siendo sistemas muy complicados y aleatorios.

Para comprender el comportamiento de la atmósfera, incluyendo sus variaciones, es necesario analizarla e interpretarla en su carácter histórico de coevolución, ya que interactúa como un sistema homeostático y que constituye procesos cíclicos. En donde, sus manifestaciones coevolutivas catastróficas han tenido una influencia determinante en el clima y la evolución de los seres vivientes (Ritter et al., 2005).

Desde la antigüedad, como hoy en día, el clima ha sido un factor determinante en el desarrollo del hombre ya que éste depende fuertemente de la productividad en sus actividades a desarrollar (agricultura, ganadería, pesca, etc.). En consecuencia, las pérdidas económicas pueden ser cuantiosas y atribuidas a la falta de conocimiento de la variabilidad del clima. Sin embargo, la producción también es influenciada por otros factores como son los biológicos, económicos, sociales y hasta políticos.

En este sentido, la precipitación se ha convertido en una variable atmosférica muy importante en el desarrollo de la agricultura en el país, la cual debe de ser analizada desde su base y a partir de la condiciones regionales (Ritter et al., 1998); y sobre la consideración de que su comportamiento es muy variable, que lo hace muy difícil de conocer y predecir.

SISTEMAS DINÁMICOS NO-LINEALES

Los sistemas dinámicos son aquellos que cambian con el tiempo, los cuales pueden ser explicados por medio de ecuaciones dinámicas y estructuras matemáticas; o bien, pueden ser representados como trayectorias de espacios de fases caracterizados por su capacidad de percibir la evolución del sistema en el tiempo. La teoría del caos, forma parte del estudio general de los modelos dinámicos, interesada fundamentalmente en el comportamiento de sistemas no lineales o de los sistemas disipatívos, los cuales exhiben atractores, y sensibilidad a las condiciones iniciales (Smith, 1998). Donde, los atractores son oscilaciones dinámicas que eventualmente se encuentran en equilibrio (Vandermeer, 1981).

Los sistemas caóticos, matemáticamente se definen como una aleatoriedad generada por la simple dinámica de los sistemas determinísticos, que permiten ver el orden en los procesos que parecen ser totalmente aleatorios (Tsonics y Elsner, 1989). La no-linealidad es una característica de la evolución de los fenómenos naturales, como es la precipitación, donde largos periodos de estabilidad son intercalados con oscilaciones aparentemente aleatorias en épocas de inestabilidad.

Las bifurcaciones catastróficas resultan en súbitas apariciones y desapariciones de atractores estáticos, ya sean periódicos o caóticos, y son la clase de transformaciones que mantienen los sistemas en evolución y que incluyen desde especies a sistemas ecológicos y climáticos (Ritter et al., 2000). Mientras que, los métodos lineales de pronóstico en las series de tiempo presentan limitaciones. Cuando la linealidad es muy marcada, los efectos de retraso entre sus elementos tienden a ser muy pequeños, presentándose puntos de equilibrio estable donde se exhiben procesos de bifurcaciones, así como puntos estables donde la población oscila en ciclos y periodicidades fácilmente identificables (May, 1976).

Mientras tanto, cuando las razones de crecimiento del sistema rebasan cierto límite, los ciclos estables entran en situaciones de comportamiento caótico, prácticamente imposibles de predecir. En este caso, la dinámica observada del sistema es simulable por medio del modelo logístico determinístico, quien presenta mejores descripciones del proceso incluso sobre bases probabilísticas, o estocásticas.

Los sistemas dinámicos pueden ser utilizados para seguir trayectorias de corto plazo, y se puede extraer además información de largo plazo sobre el comportamiento general de las trayectorias, según sus giros en torno a los atractores. Por lo tanto, los modelos caóticos (que tienen regímenes caóticos, para al menos algunos valores de los parámetros) pueden presentar situaciones deseables en los sistemas predictivos (Smith, 1998).

Para un sistema con muchos grados de libertad, la estadística es deseable. Sin embargo, un comportamiento irregular puede ser resultado de un caos de baja dimensión, es decir de procesos de modelos no lineales. El resultado más importante de la teoría de los sistemas dinámicos, es el descubrimiento de que el comportamiento complejo e impredecible no necesariamente se debe a la presencia de un gran número de grados de libertad, sugiriendo que los atractores extraños pueden caracterizarse por medio de series finitas de tiempo, como muestras de un sistema dinámico.

Estas nuevas metodologías de pronóstico estadístico no-lineal utilizan series de tiempo, y construyen los modelos directamente de los datos disponibles donde las series de tiempo son consideradas como realizaciones únicas de procesos aleatorios continuos (Nicollis y Nicollis, 1984). Donde, la aleatoriedad es un resultado de interacciones complejas participando muchas variables o muchos grados de libertad.

Las trayectorias de los espacios de fases, son resultados de una variable en el tiempo N(t) y un retraso de la misma N(t+1), lo cual describe una dinámica determinística del sistema para un sistema con un grado de libertad. Los sistemas dinámicos, como la precipitación, son caracterizados por la atracción de sus trayectorias hacia un objeto geométrico llamado atractor, el cual ocupa una reducida porción del espacio de fases (Rodríguez-Iturbe et. al., 1989). Pero al mismo tiempo, está formada por trayectorias que eventualmente convergen y permanecen sobre el espacio total disponible.

En tanto, cuando un atractor muestra una dimensión fraccional, es llamado "atractor extraño", el cual es altamente sensible a las condiciones iniciales y tiene la propiedad de que el sistema decae o es atraído a un estado final, pero es extremadamente complejo y no es periódico; de hecho es caótico y pseudoaleatorio, de tal forma que es la solución de un conjunto de ecuaciones determinísticas, mostrando que el sistema es no lineal y determinístico (Suárez, 2004).

Debido a su gran sensibilidad a las condiciones iniciales, puede llevar a patrones completamente diferentes al sistema con tan solo pequeñas perturbaciones, derivándose así grandes efectos, conocidos como efecto mariposa (Lorenz, 1963).

Los atractores extraños también son llamados sistemas caóticos, donde sus trayectorias nunca se repiten, su evolución es aperiódica pero completamente determinística, sus señales son irregulares y exhiben energía en todas las frecuencias dentro del espectro de banda ancha (Elsner y Tsonics, 1992).

Una vez que el atractor extraño ha sido identificado, puede ser cuantificado al calcular varias medidas como la de su dimensión y su exponente de Lyapunov (Ritter, et al., 1998). Los atractores son capaces de formar múltiples invariantes de los sistemas dinámicos, dependiendo de los períodos que sean analizados, los cuales frecuentemente tienen baja dimensionalidad (entre 4 y 5) sobre todo para atractores climáticos (Fraedrich, 1986).

Mientras que, la estabilidad de un sistema puede ser determinada por las oscilaciones en las trayectorias en los espacios de fases, éstas pueden ser oscilaciones estables e inestables. En donde, las oscilaciones estables presentan un decrecimiento en su amplitud hasta localizarse en un punto de equilibrio; en tanto que en las oscilaciones inestables se presenta un ligero movimiento del punto de equilibrio que lleva a oscilaciones que se alejan cada vez más del punto de equilibrio, es decir, produce trayectorias que nunca regresan a un ciclo permanente (Vandermeer, 1981).

La predictibilidad de los sistemas está relacionada al problema de su estabilidad. De tal manera, que un sistema dinámico puede ser amplificado por influencias estocásticas iniciadas desde el medio externo, sin generar ruido o caos (Deissler y Doyne, 1992). La estabilidad tanto local como global, pueden causar ruido ambiental y ser amplificada a proporciones macroscópicas. Las inestabilidades locales causan fluctuaciones temporalmente amplificadas en el espacio de fases (May, 1976; May y Oster, 1976).

El caos determinístico se refiere a ecuaciones diferenciales sin aleatoriedad. Algunas simplificaciones, tienden a omitir factores estocásticos afectando el sistema. Ambos, el sistema por si mismo y las perturbaciones externas, contribuyen a la impredictibilidad del sistema (Sugihara y May, 1990). En la actualidad, es sabido que los procesos estocásticos y determinísticos son difíciles de identificar. Sin embargo, la precipitación representa usualmente una gran dispersión, de tal forma que exhibe movimientos parecidos a sistemas estocásticos, aún siendo un sistema determinístico. En donde, los modelos estocásticos proporcionan la incertidumbre de los sistemas por medio de la probabilidad (Schifter, 1996).

Entonces, existen métodos en la ciencia para identificar el caos determinístico del estocástico. Sin embargo, el caos determinístico es derivado desde su misma fuente, por la dinámica de sistemas descrita por ecuaciones diferenciales no lineales. En el caso del caos desde las ecuaciones dinámicas determinísticas no lineales, donde son generadas propiedades internas intrínsecas que diferencian ellos mismos desde efectos no controlados y fluctuaciones estocásticas (Ritter et. al.)

 

INDICES DE PREDICTIBILIDAD

La teoría de sistemas dinámicos por medio de los sistemas caóticos (sistemas disipativos), conjuntos de fractales, atractores extraños, etc., representan alternativas para el pronóstico.

Los espacios de fases forman trayectorias que esporádicamente convergen, creando oscilaciones en forma de espiral en torno a un atractor. Sobre estas condiciones, se pueden calcular algunos parámetros indispensables para realizar el pronóstico como son el exponente de Lyapunov, la dimensión de capacidad y los eigenvalores.

El exponente de Lyapunov, proporciona una medida de la tasa promedio de divergencia de las trayectorias en el espacio de fases de un atractor (es la velocidad con que se separan o comprimen las trayectorias). Demostrando que, el límite de predictibilidad del comportamiento del sistema a largo plazo, es dado por el inverso del exponente de Lyapunov (Nicolis, 1987; Rodríguez-Iturbe et al., 1989). No obstante, también señala la medida de sensibilidad a cambios de las condiciones iniciales del sistema, lo que conceptualmente es apropiado para señalar a los sistemas determinísticos (Rodríguez-Iturbe et al., 1989).

Si el exponente de Lyapunov es negativo, las trayectorias poco separadas en el inicio tenderán a converger y la evolución no será caótica. Por el contrario, si el exponente es positivo las trayectorias divergen y la evolución es sensible a las condiciones iniciales y por lo tanto es caótica (Schifter, 1996). Entonces, cualquier sistema, que contenga al menos un exponente de Lyapunov positivo se define como caótico. En tanto, ordenando los exponentes de mayor a menor se pueden conocer las características del atractor (Poveda, 1997):

• Si al menos un exponente es menor que cero 0, el atractor es un punto.
• Si el exponente es igual a 0, el atractor es un ciclo limite estable.
• Si los dos primeros exponentes son igual a cero y los demás negativos, el atractor es un toro bidimensional.
• Si al menos un exponente es positivo, el atractor es extraño, indicando una divergencia exponencial de las trayectorias en el atractor, lo cual genera una extrema sensibilidad a las condiciones iniciales.

La presencia de exponentes de Lyapunov positivos, implican la divergencia de trayectorias cercanas y por lo tanto, presencia de una dinámica caótica. Aunque, del mismo modo, se involucran en la amplificación del ruido y la producción espontánea de nueva información macroscópica a través de la amplificación de pequeñas fluctuaciones externas (Deissler y Doyne, 1992). En el cual, tal comportamiento puede ser confundido con caos determinístico (Hastings et al., 1993).

La dimensión, es una medida de la complejidad de la trayectoria del espacio de fases, donde para obtener una medida exacta de la dimensión de un atractor es teóricamente necesario envolverlo en un espacio de dimensión de al menos 2d+1, donde d es la dimensión integral que contiene el atractor. Hay varias formas de definir la dimensión de un atractor, y la más simple es la "dimensión de capacidad", la cual describe la geometría de la dimensión del atractor, sin considerar que tan frecuente la trayectoria visita la región del atractor (Ritter, et al., 1998).

La dimensión del atractor, refleja la dinámica del sistema. Cuando d=1 las oscilaciones son autoexcitadas y periódicas; si d=2 son oscilaciones cuasiperiódicas; mientras que, si d>2 entonces el sistema presenta oscilaciones de comportamiento caótico, con imposibilidad de calcular (id.).

La dimensión de un número fraccional, indica que el atractor es un fractal, el cual nos provee de un número mínimo de grados de libertad que se necesitan para reproducir la dinámica del sistema en escalas de tiempo muy cortas (Tsonics y Elsner, 1989). Por lo tanto, la determinación de la dimensión, fractal o no, indica el número de variables y ecuaciones que debería de satisfacer un modelo para predecir la evolución de un sistema.

El hecho de que las dimensiones sean variables para diferentes tiempos de escala, puede indicar que los atractores analizados y su predictibilidad son diferentes en función de la escala de tiempo, y solo muestra una parte de un atractor mayor(Tsonics y Elsner, 1988). De tal modo, se puede considerar que el atractor no es de baja dimensión, sino que la atmósfera es un sistema complementado de subsistemas de baja dimensión (Lorenz, 1991).

Varios investigadores demandan que la baja dimensionalidad implica mas estructura, y por lo tanto, mayor predictibilidad del sistema. Aunque, para otros son dudosos dichos análisis, debido a que los datos son pobres y ruidosos; atribuyendo la existencia de atractores extraños más a las ecuaciones matemáticas que al comportamiento meteorológico (Pool, 1989).

En diversos trabajos, se estiman dimensiones fractales del tiempo atmosférico, en los que su magnitud se encuentra entre 3 y 4, en el caso de que la variabilidad interanual y los cambios estacionales sean eliminados (Elsner y Tsonics, 1987; Essex et al., 1987); mientras que la variabilidad del clima revela dimensiones entre 4 y 5, en el atractor climático (Nicolis y Nicolis, 1984; Fraedrich, 1986).

Mientras tanto, los eigenvalores son la proyección de las raíces medias cuadráticas de las coordenadas n-dimensionales de retraso a los eigenvectores ortogonales, y representan un método natural de resolver la nube de valores puntuales en un espacio dimensional superior (Wilks, 1995); es decir, es otra forma de describir la variabilidad o comportamiento del sistema.

Los comportamientos dinámicos se pueden determinar a partir de las trayectorias de los espacios de fases, y al mismo tiempo, por su dimensión. Por lo tanto, los sistemas dinámicos caóticos además de que no son predictivamente inútiles, se emplean para seguir trayectorias a corto plazo, y de esta forma se puede deducir información a largo plazo sobre el comportamiento general de las trayectorias, según éstas giren entorno a los atractores (Smith, 1998). De lo cual, se pueden obtener diferentes conductas dinámicas, establecidos por el equilibrio del sistema como:

Ciclo límite. Si la trayectoria se coloca dentro de varios puntos, indicando movimiento periódico y predictibilidad.

Cuasi-periódico. Resulta cuando el período de las oscilaciones es irregular así que la solución nunca se repite exactamente y las trayectorias forman una elipse o toro.

Caótico. Indica al formación de un atractor extraño, y por lo tanto, revela dinámica caótica, mostrando una elipse alargada e inclinada.

Las razones de que un sistema se convierta en irregular, aperiódico o ruidoso es por su caos determinístico, lo cual genera ruido directamente desde su dinámica interna, sin necesidad de perturbaciones externas, y la otra opción es el comportamiento estocástico (Deissler y Doyne, 1992).

 

CONCLUSIONES

En la creencia de que el universo es algorítmicamente comprensible y de que existe una representación abreviada de la lógica que se esconde tras de sus propiedades (ya que sin éstos, la ciencia se vería sustituida por una recopilación de datos sin sentido), contribuimos señalando diferencias vitales en los estudios transdisciplinarios de la naturaleza, entre métodos simples de recolectar estudios con visión disciplinaria y los procesos de integrar los estudios con metodologías de visión sistémica. Los primeros nos dan resultados irreales y de poca trascendencia, mientras que los estudios sistémicos nos dan a conocer las maravillosas conexiones ocultas de la naturaleza sobre el planeta en que vivimos, la Tierra.

Contribuimos señalando la incomplitud de la visión del análisis carteciano de efectos instantáneos de causa-efecto, (donde en ningún caso es obvio que la naturaleza de la vida pueda someterse a discusión o explicación, mucho menos a una predicción), sin efectos de retrazo, retroalimentación y autoorganización y con la linealidad como principal instrumento de explicación.

El mundo como máquina termodinámica. Dejando fuera la visión sintética de la visión sistémica y los sistemas dinámicos, un mundo no de jerarquías sino de redes de interrelación, no de objetos y partes independientes sino de sistemas y totalidades, no de disciplinas sino de interdisciplinas.

Un mundo no- lineal de complejidades, pero a la vez de miles de procesos simples de retroalimentación continua, de amplificación y control, de nodos de decisión y bifurcación, donde lo simple como materia prima se transforma en complejo, y de sus múltiples interacciones surgen las inesperadas emergencias creativas, donde sorprendidos descubrimos que el todo es mayor a la suma de las partes, de un mundo cibernético abierto que se crea a si mismo, surgiendo como ave fénix del caos al orden en contrasentido a las leyes de la entropía e ir de lo simple a lo complejo, de lo estable y predecible a lo inestable e impredecible, donde lo sutil cobra cada vez más importancia, donde la importancia del sistema no es dada por el número de elementos sino del efecto sinergético entre ellos.

Un mundo abierto que actúa como ser vivo, irreversible y disipativo, alejado del equilibrio termodinámico, lo que lo hace ser inmensamente creativo o destructivo. Un mundo de ecuaciones universales simples, que en el misterio de sus espacios multidimensionales y en su ruta cotidiana al caos, presenta atractores y repulsores testigos mudos del eterno retorno de Poincaré.

La mayoría de las personas creen que el presente contiene toda la información necesaria para reconstruir el pasado y predecir el futuro. Sin embargo, como las posibilidades de conseguir información perfecta son escasas, y de que la más leve incertidumbre en nuestro conocimiento del estado del sistema, trae consigo la pérdida total de información y el hecho de que muchas secuencias de sucesos naturales presentan dependencias extremadamente sensibles de sus particulares condiciones de partida, debemos entender que no podemos comprobar con toda precisión el estado presente de las cosas y de que presentes casi idénticos conducen a futuros muy diferentes, con lo cual nuestra capacidad de predicción desaparece.

La cuestión de estabilidad aparece como fundamental, donde la existencia de condiciones inestables hace imposible la previsión de acontecimientos futuros. La visión y dinámica sistémica es un poderoso auxiliar en la solución de estos problemas, son metadisciplinas con posibilidades de aplicación en las diferentes áreas de la complejidad, como pueden ser los sistemas biológico climáticos y económico sociales e incluso en la toma de decisiones a nivel personal, yendo a la raíz de los problemas y no a sus manifestaciones, donde prever y anticipar es mejor que hacer autopsias y lamentar y donde el fin supremo es la autosuperación.

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